四边形（一）

一、教学目标：

1、 掌握特殊的平行四边形---矩形、菱形、正方形的概念。

2、 掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和识别方法。

3、掌握矩形、菱形、正方形的中心对称性和轴对称性，并能利用这些性质解决问题。

二、知识点回顾

有一个角为直角的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角；正方形具有矩形、菱形的一切性质。

三、例题选讲

例1、如图，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上两点，且BE=DF，（1）若边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗，为什么？（3）若四边形AECF是

矩形，判断四边形ABCD也是矩形。

分析：对平行四边形、矩形、菱形的判断可以分别从边角对角线上考虑，这一题显然从对角线较方便些。

解：（1）连接AC交BD于O，因为AECF是平行四边形，所以AO=OC，EO=FO，又因为BE=DF所以BO=OD，所以四边形ABCD是平行四边形。

（2）因为AECF是菱形，所以AC⊥BD，由（1）得ABCD是平行四边形，所以ABCD是菱形。

（3）四边形ABCD不是矩形。因为AC等于EF就不能等于BD。

例2、△ABC，O是AC上的一点，过O作MN∥BC，交∠BCA的平分线于E，

交∠BCA的外角平分线于F，求证：（1）OE=OF，（2）当O运动到何处时，四边形AECF是矩形（3）△ABC需添加什么条件，四边形AECF是正方形？

分析：因为CE、CF分别为∠BCA的内外角平分线，所以∠ECF=90°，要使他是矩形，只需保证它是平行四边形，由（1）得OE=OF，故只需AO=OC,zai

在（2）的基础上AECF要为正方形，只需使其对角线互相垂直。故需添加AC⊥BC。

解：（1）∵CE为∠BCA的内角平分线，∴∠BCE=∠ECA，又∵MN∥BC

∴∠BCE=∠FEC，∴∠FEC=∠BCE ，∴OE=OC，同理OC=OF，所以OE=OF

（2）当O运动为AC的中点时，四边形AECF是矩形。

∵CE、CF分别为∠BCA的内外角平分线，AO=OC，EO=OF，

∴∠ECF=90°，∴AECF为矩形。

（3）当AC⊥BC，O为AC的中点时，AECF是正方形。

四、课外练习

（一）选择题

1、下列条件中不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）

A AC⊥BD，AC与BD互相平分 B AB=BC=CD=DA

C AB=BC，AD=CD且AC⊥BD， DAB=CD，AD=BC，AC⊥BD

2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）

A 对角线相等 B 对角线互相垂直平分 C 对角线平分一组对角D四条边相等

3、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAF=30度，则∠AEF=（）

A 30° B 60 ° C 45° D 75°

4、下列命题中真命题是（ ）

A 有两边相等的平行四边形是菱形 B 有一个角是直角的四边形是矩形

C 四个角相等的菱形是正方形 D 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

5、如图，E是边长为1的正方形ABCD对角线上一点，且BE=BA，，P是AE上任一点，PQ⊥BA于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR=（ ）

A 2 B C D 不能确定

6、小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得三角形ABC，则AC边上的高为（ ）

A B C D

7、菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于F，如果EF=4，那么CD的长为（ ）

A 2 B 4 C 6 D 8

8、正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于O点，则AO：DO=（ ）

A B C D

（二）填空题

1、菱形ABCD的对角线的长为2和5，P是对角线BD上的任一点，且PE平行于BC交CD于E，PF平行于CD交AD于F，连接EF交PD于G，则阴影部分的面积为

2、 形纸片中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使B与D重合，折痕为EF，则DE=

3、 如图，在三角形ABC中，AC=BC=2，∠ABC=90度，D为BC的中点，E为AB边上的一动点，则EC+ED的最小值为

4、直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长为

5、 矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若三角形AFD的周长为9，三角形ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为

6、若将四根木条钉成的矩形变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于

7、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取3个推出ABCD

是菱形。如（1）（2）（5）,请在写出符合要求的两个。

8、 知，正方形的边长为2，△PBC是等边三角形，则△CDP的面积是 ，△BPD的面积是

（三）解答题

1、如图，菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE垂直于BC，AF垂直于CD，CG平行于AE，CG交AF于点H，交AD于点G

（1）求菱形ABCD的面积；（2）求角CHA的度数。

2、已知，在三角形ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过M分别作AB、AC的平行线，交AC于P，交AB于Q，（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于什么位置时，四边形AQMP是菱形？说明你的理由。

3、在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，动点P以2厘米/秒的速度从A出发，沿AC向C移动，同时动点Q以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB向B移动，设P、Q两点移动t秒后，四边形的面积为S平方米

（1）求面积S和时间t的关系式

（2）在P、Q两点的移动过程中，四边形ABQP与三角形CPQ的面积是否能相等？若能，求出此时P的位置；若不能，请说明理由。

4、如图，在正方形ABCD的对角线上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于F，求证：AE=EF=FD

5、 BC中，BD、CE是高，G、F分别为BC、DE的中点，求证：FG⊥DE

6、 矩形ABCD，AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C与A重合，求折痕EF的长

E

C

D

O

B

A

7、菱形ABCD中，BD²=2AC²,BE∥AC,AE=AC,求∠EAC的度数。

8、如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE、BD相交于F，求证：CF⊥DE

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