三角形（二）

一、教学目标

1、掌握等腰三角形的有关概念

2、等腰三角形的性质和识别。

3、掌握直角三角形的性质和判定方法。

4、能综合运用三角形的知识解决问题。

二、知识点回顾

等腰三角形的三线合一定理，等角对等边，等边对等角，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半。

三、例题选讲

例1、△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN，AB=10，AC=16，求NM的长。

分析：延长BN交AC于H则可构造等腰三角形的三线合一。

解：延长BN交AC于H，因为∠BNA=∠ANH，∠BAN=∠NAH，所以∠ABN=∠AHN，所以AB=AH，N是BH的中点，因为M是BC的中点，所以NN=（16-10）/2=3

例2、∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于P，Q求证﹕BP²=AP²+BC²

分析：从结论看，应该寻找直角三角形运用勾股定理。

证明：连接BM，得直角三角形BMP、BCM、AMP，

所以BP²=BM²-MP²=BC²+CM²-MP²=BC²+AM²-MP²= AP²+BC²

例3、 ABCD为正方形，E为AB中点，F为AD上一点，AF= ­1∕4AD

求证 ﹕EF⊥CE    

分析：方法一要证∠FEC为直角，可证∠FEA+∠CEB=90，即通过AE：BC=AF：BE=1/2且∠A=∠B证三角形AFE与三角形BEC相似。

方法二：可连接FC设正方形的边长为2，用勾股定理表示出EF、EC、FC，再应用勾股定理的逆定理得出∠FEC=90。

请你选择一种方法加以证明。

四、课外练习

（一）选择题

1、已知等腰三角形两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）

A 12或9 B 12 C 9 D 7

2、有5个三角形分别满足下列条件之一﹕①边长为5，12，13；②三边长为m²-n²,2mn,m²+n²﹙m＞n＞0﹚;③三边之比为3﹕4﹕5；④三内角之比为1﹕2﹕3;⑤三边之比为1﹕2﹕ 其一直角三角形有﹙ ﹚

﹙A﹚2个 ﹙B﹚3个 ﹙C﹚4个 ﹙D﹚5个

3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底部A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′至，那么BB′﹙ ﹚

A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能确定

4、三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为﹙ ﹚

A 6 B 4.5 C 2.4 D8

5、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°。直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：

①AE=CF；

②△EPF是等腰直角三角形；

③S

④EF=AP

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时﹙点E不于A，B重合﹚，上述结论一始终成立的有﹙ ﹚

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

6、 如图，在等腰R^t△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C、DAB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E在AD的异侧。若AE=1，则CD的长为﹙ ﹚

A B C D

7、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有﹙ ﹚

A4个 B5个 C7个 D8个

8、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是﹙ ﹚

A⑴⑵⑶ B ⑴⑵⑷ C⑵⑶⑷ D⑴⑶⑷

图1 图2 图3 图4

9、△ABC是直径为10㎝的圆内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC=8㎝，则该△ABC的面积为﹙ ﹚

A 8㎝² B 12 ㎝² C 12 ㎝²或32㎝² D 8㎝²或32㎝²

（二）填空题

1、等腰三角形一底角为30°，底边上的高为3㎝，则这个等腰三角形的周长是 ㎝

2、如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞了 米

3、已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ABC的周长等于

4、在△ABC中，AB=AC，且BC=8㎝，BD是腰AC的中线，分△ABC的周长为两部分，已知它们的差为2㎝，则等腰三角形的腰长为

2、 如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a³+b³=

6、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为

3、 如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，则线段DE的长为

8、已知a、b、c是△ABC的三边长，那么方程cx²+（a+b）x+0.25c=0的根的情况为

（三）解答题

1、 已知如图三角形ABC，AB=AC，AD=AE，∠BAD=n度，求证：∠EDC= n度

2、已知等腰三角形ABC的周长为50㎝，AD是地边上的高，△ABD的周长为40㎝，求AD的长。

3、如图，设在一个宽度AB=a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于平整一堵墙上Q时，Q离地面的高度为c，梯子与地面的角是45°，将梯子的顶端放于另一堵墙上R时，离开地面的高度为d，且此时梯子与地面成75°，则d=a，为什么？

4、已知，△ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DG=GE

5、如图，已知：等腰三角形ABC的底边长8㎝，腰长5㎝，一动点P在底边上从B向C以0.25㎝/s的速度运动，当P运动到PA与腰垂直的位置时，求P运动的时间。

6、 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD²+AE²=DE²

7、 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=0.5AB，点E、F分别为BC、AC的中点，（1）求证：DF=BE；

（2）过A作AG∥BC，交数学.docDF于G，求证：AG=DG