小议二次函数

李晓梅

　　二次函数是初中数学的重点内容，是高中数学的基石，也是各地中考重点考查的内容。但它更是一个难点，学生对该内容的认识普遍停留在表面上，未能对其有深入的认知。而求二次函数的解析式的问题，则是解决其他问题的基础，可谓是重中之重，然而这一内容相对单一，教学过程相对呆板，学生不感兴趣，那么，如何解决这些问题呢？在教学实践中笔者做法如下：

一、让学生掌握好二次函数的解析式与性质

　　二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)，顶点式：y=a(x－h)²+k(a≠0),其中（h,k）为其图象抛物线的顶点坐标,直线x=h为对称轴。由学生讨论、归纳、总结这两种表达式适用的条件，教师适当补充，并提醒学生注意选择使用：

　　（1）、一般式适用于已知三点坐标求其解析式，是一种普遍适用的方法。它是待定系数法最直接的体现。

　　（2）、顶点式适用于已知顶点坐标的题型。如：函数的最值，图像的对称轴，图像上的对称点等也可采用此法。它在更大程度上体现的是数与形的结合。

　　与此同时，向学生说明：由求解二次函数顶点式的过程还可得出一种重要的数学解题方法－－配方法，此法是求二次函数最值时常用的一种方法，通过练习加强学生配方的能力。而二次函数的性质的教学，则可与顶点式的教学紧密联系，提醒学生注意二次项系数对性质的影响，充分运用数形结合的思想，培养学生解题时动手画图的习惯与能力。

二、通过想象发展二次函数的外延

　　二次函数是初中数学的重点和难点，学生对这部分内容的学习往往是局部的，没能整体地把握住知识。在该教学过程中，笔者对数学的知识结构进行创新性的数学加工，在二次函数的一般式的基础上，让学生充分想象曾学习过的相关类似的知识，把一元二次方程、一元二次不等式、二次三项式等知识与二次函数有机地结合起来，把学生的思维引向更加广阔的空间，使学生学完这个内容会对初中代数有更加明确的认识，并能形成对问题进行想象发展的能力与用函数的观点解决其它问题的能力。

　　如由二次函数想象到一元二次方程的过程。

二次函数一般式y=ax²+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)的右边结构与一元二次方程的结构相似，而且，求二次函数的图像－－抛物线与x轴的交点的方法就是：在一般式y=ax²+bx+c中令y＝0解出x，可得交点坐标，即求交点的过程实质上就是求与之相对应的一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，也就是说与一元二次方程ax²+bx+c＝0的根 x₁, x₂对应的点（x₁，0）（x₂，0）是二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点。由此可得二次函数的交点式：y=a(x－x₁)(x－x₂)，

而交点式也直观的反应出函数与方程的联系。同时，抛物线与x轴的交点有两个、一个或没有交点，这三种情况分别对应方程的判别式大于零、等于零或小于零的情况。通过一些例题使学生更深刻地认识函数与方程之间的联系，如下例：

例1． 求实数m的范围，使关于x的方程x²+2(m-1)x+2m+6=0

(1)　 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；

(2)　 有两个实根，且都比1大；

(3)　 有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;

(4)　至少有一个正根。

评注：

　　第（1）题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识－－一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，可以解决此问题。但此题又存在一种更具特色的解法。设y=x²+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线，由题意，抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方，于是当x=2时有y＜0。即2² +2(m-1)2+2m+6＜0。第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将二次函数的有关知识运用到一元二次方程上来，需要很好地掌握两方面的知识。

　　第（2）、（3）、（4）题都是在第（1）题的基础上，难度逐个递增的小题，这三个小题仅用初中所学方程的知识是不够的，必须把相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。在解决这类问题时，学生容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别是端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的，如第（2）题，在令y=x²+2(m-1)x+2m+6之后，让学生想想，抛物线该怎样画？由这个抛物线，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？一个人的回答可能会有缺陷，需要有其他人补充、纠正，必要时教师应适时引导。在解决这题之后学生不仅能较好地认识函数与方程的关系，还能从多个角度、全面地考虑问题。

　　二次函数与一元二次不等式ax²+bx+c＞0（或ax²+bx+c＜0，其中a≠0＝的想象则是函数的图像－－抛物线与x轴的位置关系,例如解不等式ax²+bx+c＞0，就是找出自变量x在什么范围时，与之相对应的二次函数的图像在x轴的上方。由于该内容属于高中部分，用图像向学生介绍，让学生有这么一个印象即可，不必详细说明。二次三项式重点在于因式分解，它和一元二次方程一同与二次函数的交点式共同讲解。

　　二次函数有丰富的内涵和外延，是初中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次方程，一元二次不等式等内容有着直接而密切的联系。通过二次函数的想象教学，使初中的两大重要内容：二次函数与一元二次方程紧密地联系，学生的代数知识得到进一步的统一，让学生在课堂上有参与感，提高他们学习的兴趣。也使得初中数学与高中数学有所衔接，在学生进入高中后对新的数学知识有种熟悉感，避免产生恐惧。